Projeter sur un plan donné par une équation

L'idée. $F$ est le plan des vecteurs orthogonaux à $n=(1,2,-1)$, donc $F^{\perp }=\mathrm{Vect}(n)$, qui est une droite. Il est bien plus rapide de projeter sur cette droite que d'orthonormer une base du plan.

La décomposition. Tout vecteur s'écrit $u=p_F(u)+p_{F^{\perp }}(u)$, et $$p_{F^{\perp }}(u)=\frac{⟨u,n⟩}{\Vert n{\Vert }^2}n.$$ Ici $⟨u,n⟩=1+2-1=2$ et $\Vert n{\Vert }^2=1+4+1=6$, donc $p_{F^{\perp }}(u)=\frac{1}{3}(1,2,-1)$.

Le projeté. $$p_F(u)=u-\frac{1}{3}(1,2,-1)=\left(1-\frac{1}{3},1-\frac{2}{3},1+\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{4}{3}\right).$$

Les deux contrôles. D'une part $p_F(u)\in F$ : $\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{4}{3}=0$. D'autre part $u-p_F(u)=\frac{1}{3}n$ est bien colinéaire à $n$, donc orthogonal à $F$.

La distance. $$d(u,F)=\Vert u-p_F(u)\Vert =\frac{1}{3}\Vert n\Vert =\frac{\sqrt{6}}{3}\approx 0,816.$$ On retrouve la formule générale $d=\frac{|⟨u,n⟩|}{\Vert n\Vert }=\frac{2}{\sqrt{6}}$, qui vaut la même chose.