Distance à un plan

L'orthogonal est une droite. $F$ est le plan d'équation $⟨(1,1,1),x⟩=0$, donc $F^{\perp }=\mathrm{Vect}((1,1,1))$.

Décomposition. Il est plus court de projeter sur $F^{\perp }$ :

$$p_{F^{\perp }}((1,2,3))=\frac{⟨(1,2,3),(1,1,1)⟩}{\Vert (1,1,1){\Vert }^2}(1,1,1)=\frac{6}{3}(1,1,1)=(2,2,2).$$

Distance. La distance à $F$ est la norme de cette composante orthogonale :

$$d=\Vert (2,2,2)\Vert =2\sqrt{3}\approx 3,464.$$

Contrôle. La projection sur $F$ est $(1,2,3)-(2,2,2)=(-1,0,1)$, dont la somme des coordonnées vaut $0$ : elle est bien dans $F$. Et $\Vert (-1,0,1){\Vert }^2+\Vert (2,2,2){\Vert }^2=2+12=14=\Vert (1,2,3){\Vert }^2$. Pythagore est vérifié.