Une matrice orthogonale

Colonnes. La première est $\frac{1}{3}(2,1,2)$, de norme $\frac{1}{3}\sqrt{4+1+4}=\frac{1}{3}\times 3=1$. De même pour les deux autres : $\sqrt{4+4+1}=3$ et $\sqrt{1+4+4}=3$.

Orthogonalité deux à deux. $⟨(2,1,2),(-2,2,1)⟩=-4+2+2=0$, $⟨(2,1,2),(1,2,-2)⟩=2+2-4=0$, $⟨(-2,2,1),(1,2,-2)⟩=-2+4-2=0$.

Les colonnes forment donc une base orthonormée : ${}^{t}PP=I_3$, et $P$ est orthogonale.

Inverse. $P^{-1}={}^{t}P=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ -2& 2& 1\\ 1& 2& -2\end{array}\right)$. Aucun calcul d'inversion n'a été nécessaire — c'est tout l'intérêt.