Une matrice orthogonale

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 9 — Endomorphismes symétriques et théorème spectral · Théorème spectral et matrices orthogonales

Énoncé

Soit $P = \frac{1}{3} (212 - 2 21 12 - 2)$ . Vérifier que $P$ est orthogonale, puis donner $P^{- 1}$ .

Corrigé

Colonnes. La première est $\frac{1}{3} (2, 1, 2)$ , de norme $\frac{1}{3} 4 + 1 + 4 = \frac{1}{3} \times 3 = 1$ . De même pour les deux autres : $4 + 4 + 1 = 3$ et $1 + 4 + 4 = 3$ .

Orthogonalité deux à deux. $⟨(2, 1, 2), (- 2, 2, 1)⟩ = - 4 + 2 + 2 = 0$ , $⟨(2, 1, 2), (1, 2, - 2)⟩ = 2 + 2 - 4 = 0$ , $⟨(- 2, 2, 1), (1, 2, - 2)⟩ = - 2 + 4 - 2 = 0$ .

Les colonnes forment donc une base orthonormée : $^{t} P P = I_{3}$ , et $P$ est orthogonale.

Inverse. $P^{- 1} =^{t} P = \frac{1}{3} (2 - 2 1 122 21 - 2)$ . Aucun calcul d'inversion n'a été nécessaire — c'est tout l'intérêt.

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