Symétrique dans quelle base ?

Pourquoi la question se pose. Le critère « matrice symétrique donc endomorphisme symétrique » n'est valable que dans une base orthonormée. Or $⟨e_1,e_2⟩=1\ne 0$ : la base $\mathcal{B}$ n'est même pas orthogonale, et le critère ne s'applique pas.

La matrice dans la base canonique. La matrice donnée signifie $f(e_1)=e_1+e_2$ et $f(e_2)=e_1$, soit

$$f((1,0))=(1,0)+(1,1)=(2,1),f((1,1))=(1,0).$$

Par linéarité, $f((0,1))=f(e_2)-f(e_1)=(1,0)-(2,1)=(-1,-1)$. La matrice de $f$ dans la base canonique, qui elle est orthonormée, est donc

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& -1\end{array}\right),$$

et elle n'est pas symétrique : $f$ n'est pas un endomorphisme symétrique.

Vérification par la définition. $⟨f((1,0)),(0,1)⟩=1$, alors que $⟨(1,0),f((0,1))⟩=⟨(1,0),(-1,-1)⟩=-1$ : la définition est mise en défaut.

Le point à retenir. Être symétrique est une propriété de l'endomorphisme et du produit scalaire, jamais d'un tableau de nombres. Une matrice symétrique lue dans une base non orthonormée ne prouve rien, et le théorème spectral ne s'applique pas.