Reconnaître un endomorphisme symétrique

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 9 — Endomorphismes symétriques et théorème spectral · Endomorphismes symétriques

Énoncé

Dans $R^{3}$ muni du produit canonique, l'endomorphisme de matrice $A = (120203035)$ dans la base canonique est-il symétrique ? Est-il diagonalisable ?

Corrigé

Symétrique. La base canonique est orthonormée pour le produit canonique, et $A$ vérifie $a_{i, j} = a_{j, i}$ pour tous $i, j$ : oui.

Diagonalisable. Par le théorème spectral, oui — et même dans une base orthonormée de vecteurs propres.

Ce qu'on obtient sans calcul. Trois valeurs propres réelles, une base propre orthonormée. Il ne reste qu'à les calculer si l'énoncé le demande, mais l'existence est acquise.

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