Une distance obtenue par minimisation

Développer la norme. En utilisant la bilinéarité du produit scalaire, $$\phi (t)=⟨u-ta,u-ta⟩=\Vert u{\Vert }^2-2t⟨u,a⟩+t^2\Vert a{\Vert }^2.$$ Ici $\Vert u{\Vert }^2=4+0+25=29$, $⟨u,a⟩=2+0+10=12$ et $\Vert a{\Vert }^2=1+4+4=9$, donc $$\phi (t)=9t^2-24t+29.$$

Minimisation. C'est un polynôme de degré $2$ de coefficient dominant $9>0$ : il admet un minimum global au point où ${\phi }^{\prime }(t)=18t-24$ s'annule, soit $t^{\ast }=\frac{4}{3}$.

Le projeté. Le théorème de caractérisation par minimisation dit que le vecteur de la droite le plus proche de $u$ est précisément $p_F(u)$. Donc $$p_F(u)=\frac{4}{3}(1,2,2)=\left(\frac{4}{3},\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right).$$ On retrouve bien la formule attendue $p_F(u)=\frac{⟨u,a⟩}{\Vert a{\Vert }^2}a=\frac{12}{9}a$.

La distance. $$d(u,F{)}^2=\phi \left(\frac{4}{3}\right)=29-\frac{144}{9}=\frac{261-144}{9}=13,d(u,F)=\sqrt{13}\approx 3,606.$$

Le contrôle qui compte. Le vecteur $u-p_F(u)=\left(\frac{2}{3},-\frac{8}{3},\frac{7}{3}\right)$ doit être orthogonal à $a$ : $\frac{2}{3}-\frac{16}{3}+\frac{14}{3}=0$. C'est bien le pied de la perpendiculaire.