La matrice d'un projecteur orthogonal

Le vecteur unitaire. $\Vert (1,2,2)\Vert =\sqrt{1+4+4}=3$, donc $u=\frac{1}{3}(1,2,2)$ est unitaire et $p_F(x)=⟨x,u⟩u$.

Les colonnes. L'image du premier vecteur de la base canonique est $⟨(1,0,0),u⟩u=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}(1,2,2)$, et de même pour les deux autres :

$$M=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 4& 4\\ 2& 4& 4\end{array}\right).$$

C'est un projecteur.

$$M^2=\frac{1}{81}\left(\begin{array}{ccc}9& 18& 18\\ 18& 36& 36\\ 18& 36& 36\end{array}\right)=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 4& 4\\ 2& 4& 4\end{array}\right)=M.$$

On le lit aussi sans calcul : appliquer deux fois $x\mapsto ⟨x,u⟩u$ revient à multiplier par $⟨u,u⟩=1$.

Il est orthogonal. $M$ est symétrique, et un projecteur est orthogonal si et seulement s'il est symétrique — lecture licite, la base canonique étant orthonormée.

Contrôle. La somme des coefficients diagonaux vaut $\frac{1+4+4}{9}=1=\dim F$, et $M\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ : $p_F$ laisse bien $F$ invariant point par point.