Un projecteur lu sur sa matrice

C'est un projecteur. On calcule $M^2=M$ (la matrice est diagonale, et $1^2=1$, $0^2=0$), donc $p\circ p=p$.

Il est orthogonal. La base canonique de ${\mathbb{R}}^2$ est orthonormée, et $M$ est symétrique. Or un projecteur est orthogonal si et seulement si c'est un endomorphisme symétrique : la condition est remplie.

Sur quel sous-espace. Pour $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, $p(x,y)=(x,0)$. L'image est donc $F=\mathrm{Vect}((1,0))$, l'axe des abscisses, et le noyau est $\mathrm{Vect}((0,1))$, l'axe des ordonnées.

Le contrôle géométrique. Image et noyau sont orthogonaux : $⟨(1,0),(0,1)⟩=0$. C'est bien la signature d'une projection orthogonale — le vecteur $u-p(u)=(0,y)$ est perpendiculaire à $F$ pour tout $u=(x,y)$.

Ce qu'il faut retenir de la forme de $M$. Une projection orthogonale s'écrit, dans une base orthonormée adaptée, comme une matrice diagonale de $0$ et de $1$ : autant de $1$ que la dimension du sous-espace sur lequel on projette. C'est le théorème spectral appliqué à un projecteur, dont les seules valeurs propres possibles sont $0$ et $1$.