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Cours · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 10 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun
Le chapitre 5 s'est arrêté à la condition d'ordre : en un extremum, le gradient s'annule. C'est nécessaire, jamais suffisant. Il reste à trancher entre minimum, maximum et point selle — et à traiter le cas, omniprésent en économie, où l'optimisation est sous contrainte.
La réponse tient dans le théorème spectral du chapitre 9 : la matrice hessienne est symétrique, donc diagonalisable, et ce sont les signes de ses valeurs propres qui décident.
Le programme est net : « aucune des démonstrations de ce chapitre n'est exigible des étudiants », et « la détermination de la nature topologique d'un ensemble n'est pas un objectif du programme ; elle devra toujours être précisée ». Un énoncé dira donc « soit un ouvert convexe… », et l'on appliquera.
10.1 Ouverts, fermés, et fonctions de classe
Pour continue sur et , l'ensemble est un ouvert, et est un fermé. Un ensemble est borné s'il est contenu dans une boule.
Si est de classe sur un ouvert de , sa matrice hessienne en est
Si est de classe sur , alors est symétrique en tout point de .
Par le théorème spectral, la hessienne est diagonalisable dans une base orthonormée, avec des valeurs propres réelles. Sans Schwarz, parler du « signe des valeurs propres de la hessienne » n'aurait pas de sens.
À une matrice symétrique réelle on associe
où est la colonne des coordonnées de . Il existe une base orthonormée dans laquelle, si a pour coordonnées ,
les étant les valeurs propres de .
Exercices du chapitre
- Un point critique et sa nature corrigé
- Un point selle corrigé
- Quand le critère est muet corrigé
- Deux points critiques corrigé
- Un minimum sur toute droite, et pourtant pas un minimum corrigé
- Une fonction quadratique corrigé