Convergences et théorème limite central

Cours complet · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 11 · prépa ECG, 2e année

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Une suite de nombres converge, ou ne converge pas. Une suite de variables aléatoires peut converger de plusieurs façons, et il faut les distinguer : converger en probabilité, c'est se rapprocher d'une variable donnée ; converger en loi, c'est seulement voir sa distribution ressembler à une autre.

La première notion donne la loi des grands nombres, la seconde le théorème limite central. Ensemble, elles fondent tout le chapitre 12.

AttentionDeux convergences, deux objets

La convergence en probabilité compare $X_{n}$ et $X$ issue par issue : elle exige que l'écart soit petit. La convergence en loi ne compare que les fonctions de répartition : les variables peuvent vivre sur des univers différents. La première entraîne la seconde ; la réciproque est fausse.

11.1 Convergence en probabilité

◆Théorème 11.1Rappel : les deux inégalités

Si $X ⩾ 0$ admet une espérance : $P ([X ⩾ a]) ⩽ \frac{E ( X )}{a}$ pour tout $a > 0$ (Markov).

Si $X$ admet un moment d'ordre $2$ : $P ([∣ X - E (X) ∣ ⩾ ε]) ⩽ \frac{V ( X )}{ε ^{2}}$ pour tout $ε > 0$ (Bienaymé-Tchebychev).

Définition 11.2Convergence en probabilité

$(X_{n})$ converge en probabilité vers $X$ , noté $X_{n} P X$ , lorsque

$\forall ε > 0, n \to + \infty lim P ([∣ X_{n} - X ∣ ⩾ ε]) = 0.$

◆Théorème 11.3Loi faible des grands nombres

Soit $(X_{n})$ une suite de variables indépendantes de même loi, d'espérance $m$ et de variance $σ^{2}$ . Alors

$X_{n} = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n} P m .$

Démonstration

$E (X_{n}) = m$ et $V (X_{n}) = \frac{σ ^{2}}{n}$ par indépendance. Bienaymé-Tchebychev donne alors

$P (X_{n} - m ⩾ ε) ⩽ \frac{σ ^{2}}{n ε ^{2}} n \to + \infty 0.∎$

◆Théorème 11.4Opérations

Si $X_{n} P X$ et si $f$ est continue sur $R$ , alors $f (X_{n}) P f (X)$ .
Si $X_{n} P X$ et $Y_{n} P Y$ , alors $X_{n} + Y_{n} P X + Y$ .

11.2 Convergence en loi

Définition 11.5Convergence en loi

$(X_{n})$ converge en loi vers $X$ , noté $X_{n} L X$ , lorsque

$n \to + \infty lim F_{X_{n}} (x) = F_{X} (x)$

en tout point $x$ où $F_{X}$ est continue.

◆Théorème 11.6Cas des valeurs entières

Si les $X_{n}$ et $X$ sont à valeurs dans $N$ , alors $X_{n} L X$ si et seulement si $lim_{n} P ([X_{n} = k]) = P ([X = k])$ pour tout $k \in N$ .

◆Théorème 11.7Composition

Si $X_{n} L X$ et si $f$ est continue sur $R$ , alors $f (X_{n}) L f (X)$ .

◆Théorème 11.8Théorème limite central

Soit $(X_{n})_{n ⩾ 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, admettant une espérance $m$ et une variance $σ^{2} \neq = 0$ . Alors

$X_{n}^{*} = n \frac{X _{n} - m}{σ} L N (0, 1),$

c'est-à-dire que pour tous $- \infty ⩽ a ⩽ b ⩽ + \infty$ ,

$n \to + \infty lim P ([a ⩽ X_{n}^{*} ⩽ b]) = \int_{a}^{b} \frac{1}{2 π} e^{- t^{2} /2} d t .$

ImportantCe qui est remarquable

La loi de départ n'apparaît nulle part dans la limite. Que les $X_{i}$ soient des Bernoulli, des uniformes ou des exponentielles, l'écart normalisé suit la même cloche. C'est cette universalité qui rend la loi normale omniprésente.

ImportantApproximations usuelles

Pour $n$ grand, $B (n, p)$ s'approche par $N (n p, n p (1 - p))$ , et $P (λ)$ par $N (λ, λ)$ pour $λ$ grand. Le programme précise que « toutes les indications devront être fournies aux candidats quant à la justification de l'utilisation des approximations » : on ne demandera jamais de décider seul si $n$ est assez grand.

Python : Voir le théorème limite central sur trois lois


import random, math

def normalisee(tirage, m, sigma, n, N=100000):
    out = []
    for _ in range(N):
        s = sum(tirage() for _ in range(n))
        out.append(math.sqrt(n)*(s/n - m)/sigma)
    return out

random.seed(1)
lois = [(lambda: random.random(), 0.5, math.sqrt(1/12)),
        (lambda: float(random.random() < 0.3), 0.3, math.sqrt(0.21)),
        (lambda: random.expovariate(1.0), 1.0, 1.0)]

for t, m, s in lois:
    ech = normalisee(t, m, s, 40)
    moy = sum(ech)/len(ech)
    var = sum((x-moy)**2 for x in ech)/len(ech)
    # proche de 0.0 et 1.0 dans les 3 cas
    print(round(moy, 3), round(var, 3))

Trois lois de départ sans rapport, une même distribution limite. La moyenne et la variance ne le prouvent pas à elles seules — mais elles sont le premier symptôme, et elles sont bien $0$ et $1$ .

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