Convergences et théorème limite central

Cours · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 11 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le théorème limite central : la loi binomiale de paramètres 20 et 0,5, en barres, et la courbe en cloche qui l'approche.

Une suite de nombres converge, ou ne converge pas. Une suite de variables aléatoires peut converger de plusieurs façons, et il faut les distinguer : converger en probabilité, c'est se rapprocher d'une variable donnée ; converger en loi, c'est seulement voir sa distribution ressembler à une autre.

La première notion donne la loi des grands nombres, la seconde le théorème limite central. Ensemble, elles fondent tout le chapitre 12.

AttentionDeux convergences, deux objets

La convergence en probabilité compare $X_{n}$ et $X$ issue par issue : elle exige que l'écart soit petit. La convergence en loi ne compare que les fonctions de répartition : les variables peuvent vivre sur des univers différents. La première entraîne la seconde ; la réciproque est fausse.

11.1 Convergence en probabilité

◆Théorème 11.1Rappel : les deux inégalités

Si $X ⩾ 0$ admet une espérance : $P ([X ⩾ a]) ⩽ \frac{E ( X )}{a}$ pour tout $a > 0$ (Markov).

Si $X$ admet un moment d'ordre $2$ : $P ([∣ X - E (X) ∣ ⩾ ε]) ⩽ \frac{V ( X )}{ε ^{2}}$ pour tout $ε > 0$ (Bienaymé-Tchebychev).

Définition 11.2Convergence en probabilité

$(X_{n})$ converge en probabilité vers $X$ , noté $X_{n} P X$ , lorsque

$\forall ε > 0, n \to + \infty lim P ([∣ X_{n} - X ∣ ⩾ ε]) = 0.$

Exercices du chapitre

Markov corrigé
Bienaymé-Tchebychev corrigé
Bienaymé-Tchebychev est Markov appliqué au carré corrigé
Convergence en probabilité corrigé
Le maximum d'un échantillon uniforme corrigé
Loi des grands nombres appliquée corrigé

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