Exercices corrigés — Convergences et théorème limite central (mathématiques approfondies (ECG 2e année))
35 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
Les inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev
- Markov
- Bienaymé-Tchebychev
- Bienaymé-Tchebychev est Markov appliqué au carré
- L'inégalité de Markov ne peut pas être améliorée Exercice d'entraînement
- Trois majorations pour une même queue Exercice d'entraînement
- Markov appliqué à une fonction croissante Exercice d'entraînement
Convergence en probabilité et loi des grands nombres
- Convergence en probabilité
- Le maximum d'un échantillon uniforme
- Loi des grands nombres appliquée
- Composition par une fonction continue
- Estimer une probabilité par la loi des grands nombres
- Converger en probabilité sans que l'espérance suive
Convergence en loi
- Convergence en loi vers Poisson
- Les deux convergences ne coïncident pas
- Le maximum, convenablement dilaté
- Une suite qui s'écrase sur un point Exercice d'entraînement
- Le maximum d'un échantillon exponentiel, recentré Exercice d'entraînement
- D'une loi géométrique à une loi exponentielle Exercice d'entraînement
Le théorème limite central
Convergence en probabilité
- Le minimum d'un échantillon uniforme Exercice d'entraînement
- Le produit de deux suites convergentes Exercice d'entraînement
- La moyenne des carrés Exercice d'entraînement
Théorème limite central
- Combien de lancers pour une fréquence précise ? Exercice d'entraînement
- Une loi de Poisson approchée Exercice d'entraînement
- Ce que le théorème limite central fait gagner Exercice d'entraînement
- Centrer et réduire une moyenne Exercice supplémentaire
- Une binomiale par la loi normale Exercice supplémentaire
Majorer une probabilité
- Markov sur un temps d'attente Exercice supplémentaire
- Deux lectures de Bienaymé-Tchebychev Exercice supplémentaire
- La règle des deux écarts-types Exercice supplémentaire
Loi des grands nombres
- Vers quoi converge la moyenne ? Exercice supplémentaire
- La variance de la moyenne empirique Exercice supplémentaire
- Une fréquence converge vers une probabilité Exercice supplémentaire