Estimation

Cours · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 12 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Des intervalles de confiance issus de plusieurs échantillons : la plupart contiennent la vraie valeur p, l'un d'eux la manque.

Toute l'année a supposé les lois connues : on donnait $p$ , $λ$ , $μ$ , et l'on en déduisait des probabilités. La statistique inférentielle renverse la question. On observe des données, on ignore le paramètre, et l'on veut le deviner — en disant honnêtement avec quelle marge d'erreur.

Ce chapitre fournit les deux réponses : une valeur unique, l'estimation ponctuelle ; et une fourchette assortie d'un niveau de confiance, l'intervalle de confiance.

AttentionCe que le programme écarte

« La notion de risque quadratique n'est pas au programme. » On comparera donc deux estimateurs par leur biais et leur variance, jamais par une quantité qui les combine.

12.1 Le cadre

Définition 12.1Modèle, échantillon, estimateur

On observe une variable aléatoire $X$ dont la loi dépend d'un paramètre inconnu $θ$ décrivant un ensemble $Θ$ . Un $n$ -échantillon est une suite $(X_{1}, \dots, X_{n})$ de variables $P_{θ}$ -indépendantes et de même loi que $X$ .

Un estimateur de $g (θ)$ est une variable aléatoire $T_{n} = φ (X_{1}, \dots, X_{n})$ , où $φ$ ne dépend pas de $θ$ . Sa réalisation $φ (x_{1}, \dots, x_{n})$ sur les données observées est l'estimation.

ImportantUn estimateur est une variable aléatoire, une estimation est un nombre

La distinction est constante et elle est essentielle. $T_{n}$ a une loi, une espérance, une variance — c'est sur elles qu'on juge sa qualité. L'estimation, elle, est le nombre qu'on lit une fois les données recueillies : on ne peut rien en dire seule.

Exemple 12.2La moyenne empirique

Pour estimer $m = E (X)$ , on prend $X_{n} = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}$ . Alors $E (X_{n}) = m$ et $V (X_{n}) = \frac{σ ^{2}}{n}$ .

12.2 Qualités d'un estimateur

Définition 12.3Estimateur sans biais

$T_{n}$ est un estimateur sans biais de $g (θ)$ lorsque

$\forall θ \in Θ, E_{θ} (T_{n}) = g (θ) .$

Exercices du chapitre

Un estimateur sans biais corrigé
Comparer deux estimateurs corrigé
Un estimateur biaisé mais convergent corrigé
Une loi uniforme décalée corrigé
Transport par une fonction continue corrigé
Estimer le paramètre d'une loi exponentielle corrigé

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