Travaux pratiques avec Python

Cours · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 13 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un programme dans un éditeur de code : des instructions exécutées de haut en bas.

Les douze chapitres précédents ont construit des objets et démontré des théorèmes. Ce dernier chapitre les met en machine. Non pour vérifier ce qui est déjà démontré — une simulation ne démontre rien — mais pour voir ce que les énoncés disent, et pour traiter les cas où le calcul exact n'aboutit pas.

Le programme découpe ces travaux en quatre thèmes, que ce chapitre suit dans l'ordre : statistiques descriptives bivariées, fonctions de plusieurs variables, simulation de lois, estimation.

AttentionCe qu'un TP n'est pas

Le programme est explicite : « L'objectif de ces travaux pratiques n'est pas l'écriture de longs programmes mais l'assimilation de savoir-faire ». On n'attend donc de vous ni une bibliothèque, ni une interface : quinze lignes qui répondent à une question précise, et une phrase qui interprète le résultat.

Autre point de règlement, souvent mal connu : « On rappellera dans les sujets toutes les syntaxes des commandes non exigibles. » Les seules commandes à savoir par cœur sont celles de première année. Tout le reste — et ce chapitre en emploie — vous sera donné le jour de l'épreuve.

13.1 Thème 1 : statistiques descriptives bivariées

13.1.1 Le nuage et son point moyen

Définition 13.1Série double, nuage, point moyen

Une série statistique double est une liste de couples $(x_{1}, y_{1}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ relevée sur $n$ individus. Le nuage de points est l'ensemble de ces couples dans le plan.

Le point moyen du nuage est $G = (x, y)$ , où $x = \frac{1}{n} \sum x_{i}$ et $y = \frac{1}{n} \sum y_{i}$ .

Définition 13.2Covariance et corrélation empiriques

La covariance empirique de la série est

$s_{x y} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - x) (y_{i} - y) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i} y_{i} - x y,$

et le coefficient de corrélation empirique est $r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}}$ , où $s_{x}$ et $s_{y}$ sont les écarts types des deux séries simples.

ImportantCe sont les formules du chapitre 8, appliquées à des données

La covariance empirique est la covariance du couple $(X, Y)$ pour la loi uniforme sur les $n$ observations. La formule de Huygens et l'encadrement $∣ r ∣ \leq 1$ ne sont donc pas des résultats nouveaux : ce sont ceux du cours, lus sur cette loi-là. En particulier $∣ r ∣ = 1$ si et seulement si les points sont exactement alignés, ce qui est le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz du chapitre 4.

Prenons huit entreprises d'un même secteur, dont on relève le budget publicitaire $x$ et le chiffre d'affaires $y$ , tous deux en milliers d'euros.

$x$ (budget)	12	18	24	30	36	42	48	54
$y$ (chiffre)	46	52	61	64	73	77	86	89

Python : Le nuage, la covariance, la droite


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.array([12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54])
y = np.array([46, 52, 61, 64, 73, 77, 86, 89])

xb, yb = x.mean(), y.mean()
cov = ((x - xb)*(y - yb)).mean()
r = cov/(x.std()*y.std())
a = cov/x.var()
b = yb - a*xb
print(round(cov, 3), round(r, 4), round(a, 4), round(b, 4))
# 198.0  0.9956  1.0476  33.9286

plt.scatter(x, y)
plt.plot(x, a*x + b)
plt.plot(xb, yb, "o")        # le point moyen
plt.show()

Trois lignes de calcul, une ligne de tracé. Le .std() et le .var() de numpy divisent par $n$ , ce qui est bien la convention de la définition ci-dessus.

13.1.2 Il y a deux droites de régression

◆Théorème 13.3Les deux droites, et ce que leur écart mesure

La droite de régression de $y$ en $x$ est $y = a x + b$ avec $a = \frac{s _{x y}}{s _{x}^{2}}$ et $b = y - a x$ ; celle de $x$ en $y$ est $x = a^{'} y + b^{'}$ avec $a^{'} = \frac{s _{x y}}{s _{y}^{2}}$ et $b^{'} = x - a^{'} y$ .

Ces deux droites passent par le point moyen $G$ , et

$a a^{'} = \frac{s _{x y}^{2}}{s _{x}^{2} s _{y}^{2}} = r^{2} .$

Démonstration

Les deux droites passent par $G$ : c'est immédiat sur $y = a (x - x) + y$ , et sur $x = a^{'} (y - y) + x$ . Le produit $a a^{'}$ est celui des deux quotients, soit $s_{x y}^{2} / (s_{x}^{2} s_{y}^{2}) = r^{2}$ .

ImportantChoisir laquelle, c'est choisir ce qu'on explique

Les deux droites ne coïncident que si $∣ r ∣ = 1$ . Ajuster $y$ en $x$ , c'est minimiser les écarts verticaux : on suppose que $x$ est connu et que $y$ est à expliquer. Ajuster $x$ en $y$ minimise les écarts horizontaux et inverse les rôles.

Si l'on veut prédire le chiffre d'affaires à partir du budget, c'est la première qu'il faut. Prendre l'autre parce qu'elle est déjà tracée est une faute de modèle, pas une approximation.

13.1.3 Redresser avant d'ajuster

Une droite ne résume bien qu'un nuage droit. Quand la croissance est multiplicative, on pré-transforme les données pour se ramener au cas linéaire. Voici le nombre d'abonnés d'un service, en milliers, sur huit trimestres.

$t$	0	1	2	3	4	5	6	7
$y$	12	19	31	47	78	121	195	310

Exercices du chapitre

Une série double à la main corrigé
Les deux droites et le coefficient de corrélation corrigé
Redresser un modèle puissance corrigé
Ce qu'un seul point aberrant fait à la corrélation corrigé
Gradient et ligne de niveau corrigé
Le graphe et son plan tangent corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre