Exercices corrigés — Produit scalaire et espaces euclidiens (mathématiques approfondies (ECG 2e année))

35 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

Produits scalaires et normes

• Est-ce un produit scalaire ?
• Orthogonalité relative
• Un produit scalaire construit sur trois valeurs
• Un produit scalaire sur les matrices
• Norme d'une somme

Inégalité de Cauchy-Schwarz

• Cauchy-Schwarz appliqué
• Une somme et la somme des inverses

Familles orthogonales et bases orthonormées

• Une famille orthogonale est libre
• Coordonnées dans une base orthonormée
• Une matrice orthogonale
• Une base orthonormée par Schmidt

Orthogonal d'un sous-espace

• Un orthogonal à calculer
• Découper un vecteur suivant une droite et son orthogonal
• Orthogonal d'un orthogonal
• Une base orthonormée d'un plan et de sa normale

Reconnaître un produit scalaire

• Un produit scalaire à termes croisés Exercice d'entraînement
• Le produit scalaire intégral sur ${\mathbb{R}}_1[x]$ Exercice d'entraînement
• Symétriques et antisymétriques sont orthogonales Exercice d'entraînement

Cauchy-Schwarz et normes

• L'identité de polarisation Exercice d'entraînement
• L'inégalité triangulaire et son cas d'égalité Exercice d'entraînement
• Des réels de somme un, et la somme de leurs carrés Exercice d'entraînement

Bases orthonormées

• Le théorème de Pythagore pour une famille orthogonale Exercice d'entraînement
• Une matrice orthogonale conserve les longueurs Exercice d'entraînement
• Construire une base orthonormée de ${\mathbb{R}}^3$ Exercice d'entraînement

Orthogonal d'un sous-espace et projection

• L'orthogonal d'un plan de ${\mathbb{R}}^4$ Exercice d'entraînement
• La distance d'un point à un plan Exercice d'entraînement
• Deux règles sur les orthogonaux Exercice d'entraînement

Calculs de produit scalaire

• Produit scalaire, normes, et Cauchy-Schwarz sur un exemple Exercice supplémentaire
• Orthogonalité pour un produit scalaire à poids Exercice supplémentaire
• Vérifier le théorème de Pythagore Exercice supplémentaire

Orthogonalité et bases

• Des coordonnées lues dans une base orthonormée Exercice supplémentaire
• Normer un vecteur Exercice supplémentaire
• Une famille orthogonale est une base Exercice supplémentaire

Orthogonal d'une droite

• L'orthogonal d'une droite de ${\mathbb{R}}^3$ Exercice supplémentaire
• Une droite du plan et sa perpendiculaire Exercice supplémentaire

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