Exercices corrigés — Réduction des endomorphismes et des matrices carrées (mathématiques approfondies (ECG 2e année))
35 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
Critère de diagonalisabilité
- Trois valeurs propres distinctes
- Une somme de dimensions
- Une matrice non diagonalisable
- Une famille de matrices
- Trace, rang et diagonalisation
Diagonaliser en pratique
Puissances d'une matrice diagonalisable
Endomorphismes remarquables
- Une symétrie est diagonalisable
- Diagonalisable dans les deux sens
- Un projecteur est diagonalisable
- Deux endomorphismes qui commutent
- Une racine carrée d'une matrice diagonalisable
- Un carré nul n'est jamais diagonalisable
Décider si une matrice est diagonalisable
- Deux valeurs propres, trois dimensions à compter Exercice d'entraînement
- Diagonaliser une matrice de rang un Exercice d'entraînement
- Les matrices de rang un, en général Exercice d'entraînement
Trouver et
- Une matrice dont on connaît la somme des lignes Exercice d'entraînement
- Trois valeurs propres lues sur la diagonale Exercice d'entraînement
- Un endomorphisme de polynômes qui se retourne Exercice d'entraînement
Puissances et suites
- Une puissance explicite d'une matrice triangulaire Exercice d'entraînement
- Deux suites couplées Exercice d'entraînement
- Même spectre, mêmes dimensions, donc semblables Exercice d'entraînement
Ce que la diagonalisation apprend
- Le carré d'une matrice diagonalisable Exercice d'entraînement
- Rang un, trace nulle, diagonalisable : impossible Exercice d'entraînement
- Quand les puissances tendent vers zéro Exercice d'entraînement
Reconnaître
- Trois matrices, une question Exercice supplémentaire
- Une matrice qui n'est pas diagonalisable Exercice supplémentaire
- Lire une diagonalisation déjà écrite Exercice supplémentaire
Diagonaliser une matrice deux fois deux
- Une matrice triangulaire à diagonaliser Exercice supplémentaire
- L'échange des deux coordonnées Exercice supplémentaire
- Une matrice triangulaire inférieure Exercice supplémentaire
Puissances
- La puissance d'une matrice donnée sous forme diagonalisée Exercice supplémentaire
- Les puissances d'une matrice diagonale Exercice supplémentaire