Rang un, trace nulle, diagonalisable : impossible

Ce qu'on montre. Une impossibilité, en confrontant deux lectures de la même matrice diagonale : le rang et la trace.

Mise en place. Supposons qu'une telle matrice $A$ existe. Étant diagonalisable, elle s'écrit $A=PD{P}^{-1}$ avec $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$ et $P$ inversible.

Ce que dit le rang. Deux matrices semblables ont le même rang : multiplier à gauche ou à droite par une matrice inversible ne change pas le rang. Donc $\mathrm{rg}(D)=\mathrm{rg}(A)=1$. Or le rang d'une matrice diagonale est le nombre de ses coefficients diagonaux non nuls — ses colonnes non nulles forment une famille libre, les autres étant nulles. Donc exactement un des ${\lambda }_i$ est non nul ; quitte à réordonner, $D=\mathrm{diag}(\lambda ,0,0)$ avec $\lambda \ne 0$.

Ce que dit la trace. La trace est invariante par similitude, donc $$0=\mathrm{Tr}(A)=\mathrm{Tr}(D)=\lambda +0+0=\lambda .$$ On obtient $\lambda =0$, en contradiction avec $\lambda \ne 0$.

Conclusion. Aucune matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ ne peut être simultanément diagonalisable, de rang $1$ et de trace nulle.

Le point délicat, et sa portée. L'hypothèse « diagonalisable » est ce qui fait tout : sans elle, l'énoncé est faux. La matrice $$N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$ est de rang $1$ et de trace nulle — mais elle n'est pas diagonalisable, précisément parce que son spectre $\{0\}$ l'obligerait à être nulle.