Deux suites couplées

La mise en matrice. Posons $X_n={}^t(u_n,v_n)$ et $A=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 1& 1\end{array}\right)$. Les deux relations s'écrivent $X_{n+1}=A{X}_n$, donc, par récurrence immédiate, $X_n=A^n{X}_0$.

Deux vecteurs propres. On cherche $\lambda$ tel que $A-\lambda I_2$ ne soit pas inversible, c'est-à-dire dont les deux lignes $(4-\lambda ,-2)$ et $(1,1-\lambda )$ soient proportionnelles : $(4-\lambda )(1-\lambda )=-2$, soit ${\lambda }^2-5\lambda +6=0$, dont les racines sont $2$ et $3$.

Pour $\lambda =2$ : $A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& -1\end{array}\right)$ donne $x=y$, d'où $X_1={}^t(1,1)$. Pour $\lambda =3$ : $A-3I_2=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& -2\end{array}\right)$ donne $x=2y$, d'où $X_2={}^t(2,1)$. Contrôle : $A{X}_1={}^t(2,2)=2X_1$ et $A{X}_2={}^t(6,3)=3X_2$.

Décomposer la condition initiale. On cherche $a,b$ avec $X_0=a{X}_1+b{X}_2$ : $$a+2b=0,a+b=1.$$ En soustrayant : $b=-1$, puis $a=2$. Donc $X_0=2X_1-X_2$.

La conclusion. Comme $A^n{X}_1=2^n{X}_1$ et $A^n{X}_2=3^n{X}_2$ (transport des éléments propres), $$X_n=A^n{X}_0=2\cdot 2^n{X}_1-3^n{X}_2=2^{n+1}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)-3^n\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right),$$ soit $$u_n=2^{n+1}-2\cdot 3^n,v_n=2^{n+1}-3^n.$$

Contrôle. Pour $n=0$ : $u_0=2-2=0$ et $v_0=2-1=1$. Pour $n=1$ : la formule donne $u_1=4-6=-2$ et $v_1=4-3=1$, tandis que les relations donnent $u_1=0-2=-2$ et $v_1=0+1=1$.