Trois matrices, une question

La matrice $A$. Elle est déjà diagonale. Or une matrice diagonale $D$ vérifie $D=I_{n}D{I}_n^{-1}$ : elle est semblable à une matrice diagonale, à savoir elle-même. Donc $A$ est diagonalisable, avec $P=I_3$ et $D=A$.

La matrice $B$. Même argument : $B=4I_2$ est diagonale, donc diagonalisable. On peut le redire autrement : $B$ est l'homothétie de rapport $4$, $\mathrm{Sp}(B)=\{4\}$ et $E_4(B)={\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$ tout entier, de dimension $2$. La somme des dimensions vaut $2$, qui est bien la dimension de l'espace.

La matrice $C$. Elle est triangulaire supérieure, donc son spectre est l'ensemble de ses coefficients diagonaux : $$\mathrm{Sp}(C)=\{1,5\}.$$ Deux valeurs propres deux à deux distinctes dans un espace de dimension $2$ : le critère le plus commode du cours s'applique, $C$ est diagonalisable, et chacun de ses deux sous-espaces propres est de dimension $1$.

Le piège à éviter. « Diagonalisable » ne veut pas dire « diagonale » : $C$ a un coefficient hors diagonale égal à $7$ et elle est pourtant diagonalisable. La question n'est jamais « à quoi ressemble la matrice ? » mais « existe-t-il une base de vecteurs propres ? ».