Une matrice non diagonalisable

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 3 — Réduction des endomorphismes et des matrices carrées · Critère de diagonalisabilité

Énoncé

Soit $A = (300130005)$ . Déterminer $Sp (A)$ , la dimension de chaque sous-espace propre, et conclure.

Corrigé

Spectre. $A$ est triangulaire : $Sp (A) = {3, 5}$ .

$E_{3} (A)$ . $A - 3 I_{3} = (000100002)$ , de rang $2$ . Donc $dim E_{3} (A) = 3 - 2 = 1$ .

$E_{5} (A)$ . $A - 5 I_{3} = (- 2 00 1 - 2 0 000)$ , de rang $2$ . Donc $dim E_{5} (A) = 1$ .

Conclusion. $1 + 1 = 2 < 3$ : $A$ n'est pas diagonalisable.

L'obstacle. La valeur propre $3$ figure deux fois sur la diagonale, mais son sous-espace propre n'est que de dimension $1$ . C'est toujours là que ça coince : une valeur propre « répétée » dont le sous-espace propre est trop petit.

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