Les puissances d'une matrice diagonale

Le produit de deux matrices diagonales. Si $D=\mathrm{diag}(d_1,d_2,d_3)$ et $D^{\prime }=\mathrm{diag}(d_1^{\prime },d_2^{\prime },d_3^{\prime })$, le coefficient d'indice $(i,j)$ de $D{D}^{\prime }$ vaut ${\sum }_k{d}_{i,k}{d}_{k,j}^{\prime }$, où seul le terme $k=i$ peut être non nul, et seulement si $j=i$. Donc $$D{D}^{\prime }=\mathrm{diag}(d_1{d}_1^{\prime },d_2{d}_2^{\prime },d_3{d}_3^{\prime }).$$

Les premières puissances. En appliquant cette règle : $$D^2=\mathrm{diag}(4,1,0),D^3=\mathrm{diag}(8,-1,0).$$

Le cas général. Une récurrence immédiate donne, pour tout $n⩾1$, $$D^n=\left(\begin{array}{ccc}{2}^n& 0& 0\\ 0& (-1{)}^n& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$ C'est le fait qui rend la diagonalisation utile : élever une matrice diagonale à la puissance $n$, c'est élever $3$ réels à la puissance $n$.

La trace. $$\mathrm{Tr}(D^n)=2^n+(-1{)}^n+0=2^n+(-1{)}^n.$$ Pour $n=1$ on retrouve $2-1=1=\mathrm{Tr}(D)$, et pour $n=2$, $4+1=5=\mathrm{Tr}(D^2)$.

Attention à $n=0$. La formule ci-dessus est écrite pour $n⩾1$ : par convention $D^0=I_3$, dont le troisième coefficient diagonal vaut $1$ et non $0^0$.