Une matrice triangulaire inférieure

Le spectre. $A$ est triangulaire inférieure, donc son spectre est l'ensemble de ses coefficients diagonaux : $$\mathrm{Sp}(A)=\{2,-1\}.$$ Deux valeurs propres distinctes en dimension $2$ : $A$ est diagonalisable, avec deux sous-espaces propres de dimension $1$.

Le vecteur propre pour $2$. On résout $(A-2I_2)X=0$ avec $$A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 3& -3\end{array}\right).$$ La seule équation est $3x-3y=0$, soit $y=x$. Un vecteur propre : $X_1={}^t(1,1)$. Contrôle : $A{}^t(1,1)={}^t(2,3-1)={}^t(2,2)=2X_1$.

Le vecteur propre pour $-1$. Avec $$A+I_2=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 3& 0\end{array}\right),$$ les deux lignes donnent $3x=0$, soit $x=0$, et $y$ reste libre. Un vecteur propre : $X_2={}^t(0,1)$. Contrôle : $A{}^t(0,1)={}^t(0,-1)=-X_2$.

Les matrices et le contrôle. $$P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -1\end{array}\right),$$ $$AP=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 3& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& -1\end{array}\right),PD=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& -1\end{array}\right).$$ Les deux coïncident.