Lire une diagonalisation déjà écrite

Le produit $AP$. On calcule colonne par colonne. Première colonne de $P$ : ${}^t(1,1)$, et $$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+4\\ 2+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right).$$ Deuxième colonne : ${}^t(2,-1)$, et $$A\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2-4\\ 4-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right).$$ Donc $AP=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ 5& 1\end{array}\right)$.

Le produit $PD$. Multiplier $P$ à droite par une matrice diagonale multiplie chaque colonne par le coefficient correspondant : $$PD=\left(\begin{array}{cc}5\times 1& (-1)\times 2\\ 5\times 1& (-1)\times (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ 5& 1\end{array}\right)=AP.$$ L'égalité est vérifiée.

Ce qu'elle apprend. Colonne par colonne, $AP=PD$ signifie exactement $$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=5\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),A\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)=-1\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right).$$ Donc ${}^t(1,1)$ est vecteur propre pour la valeur propre $5$, et ${}^t(2,-1)$ pour la valeur propre $-1$. Comme une matrice de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ a au plus deux valeurs propres, $$\mathrm{Sp}(A)=\{5,-1\}.$$

Contrôle par la trace. $\mathrm{Tr}(A)=1+3=4$ et $5+(-1)=4$ : les deux coïncident.