Un carré nul n'est jamais diagonalisable

Le spectre est écrasé. Le polynôme $Q=x^2$ est annulateur de $f$, et sa seule racine est $0$. Toute valeur propre étant racine d'un polynôme annulateur, $\mathrm{Sp}(f)\subset \{0\}$.

Le raisonnement par l'absurde. Supposons $f$ diagonalisable. Il existe alors une base $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_n)$ de $E$ formée de vecteurs propres de $f$. Pour chaque $i$, il existe ${\lambda }_i$ tel que $f(e_i)={\lambda }_i{e}_i$, et ${\lambda }_i$ est une valeur propre de $f$, donc ${\lambda }_i=0$ d'après l'étape précédente. Ainsi $$f(e_1)=\cdots =f(e_n)=0_E.$$ Une application linéaire qui annule une base est l'application nulle : pour $x={\sum }_i{x}_i{e}_i$, la linéarité donne $f(x)={\sum }_i{x}_{i}f(e_i)=0_E$. Donc $f=0$, ce qui contredit l'hypothèse.

Conclusion. $f$ n'est pas diagonalisable.

Un exemple concret. $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ a un carré nul sans être nulle. Son unique sous-espace propre $E_0$ est la droite engendrée par $(1,0)$, de dimension $1<2$ : le critère des dimensions dit la même chose.

Le point à retenir. Un endomorphisme diagonalisable dont le spectre est réduit à $\{\lambda \}$ vaut $\lambda {\mathrm{Id}}_E$. C'est l'argument le plus rentable de tout le chapitre : il tue d'un coup toutes les matrices non nulles de spectre réduit à un point.