Diagonalisable dans les deux sens

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées · Endomorphismes remarquables · niveau 2

Énoncé

Soit $A$ diagonalisable et inversible. Montrer que $A^{- 1}$ est diagonalisable, et exprimer sa diagonalisation à partir de celle de $A$ .

Écrivons $A = P D P^{- 1}$ avec $D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ .

$A$ étant inversible, aucune valeur propre n'est nulle (sinon $A X = 0$ avec $X \neq = 0$ ). Donc $D$ est inversible, et

$A^{- 1} = (P D P^{- 1})^{- 1} = P D^{- 1} P^{- 1}, D^{- 1} = diag (\frac{1}{λ _{1}}, \dots, \frac{1}{λ _{n}}) .$

$D^{- 1}$ étant diagonale, $A^{- 1}$ est diagonalisable, avec la même matrice de passage $P$ .

Lecture. Inverser ne change pas les directions propres, seulement les facteurs, qui s'inversent. C'est cohérent avec l'exercice 10 du chapitre 2.