Une puissance explicite d'une matrice triangulaire

Le spectre. $A$ est triangulaire, donc $\mathrm{Sp}(A)=\{3,2\}$ : deux valeurs propres distinctes en dimension $2$, donc $A$ est diagonalisable.

Les vecteurs propres. Pour $\lambda =3$ : $A-3I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$, le système donne $y=0$ et $x$ libre, d'où $X_1={}^t(1,0)$. Pour $\lambda =2$ : $A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$, le système donne $x+y=0$, d'où $X_2={}^t(1,-1)$.

Les matrices. $$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right).$$ Contrôle : $AP$ a pour colonnes $3X_1={}^t(3,0)$ et $2X_2={}^t(2,-2)$, comme $PD$.

L'inverse de $P$. On remarque que $P^2=\left(\begin{array}{cc}1& 1-1\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2$, donc $P^{-1}=P$.

La puissance. $A=PD{P}^{-1}$ donne $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$ avec $D^n=\mathrm{diag}(3^n,2^n)$ : $$A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{3}^n& 0\\ 0& 2^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{3}^n& 2^n\\ 0& -2^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{3}^n& 3^n-2^n\\ 0& 2^n\end{array}\right).$$

Deux contrôles. Pour $n=1$ on retrouve $\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 2\end{array}\right)=A$, et pour $n=0$ la matrice $I_2$. Le résultat reste triangulaire, ce qui était prévisible : un produit de matrices triangulaires supérieures l'est encore.