Même spectre, mêmes dimensions, donc semblables

Ce qu'on montre. Que les deux matrices sont semblables à une même matrice diagonale, puis on recolle.

La forme diagonale de $A$. $A$ étant diagonalisable, il existe $P$ inversible et $D_A$ diagonale avec $A=P{D}_A{P}^{-1}$. Les coefficients diagonaux de $D_A$ sont les valeurs propres de $A$, chacune répétée autant de fois que la dimension de son sous-espace propre : en effet, une base de vecteurs propres se compose en concaténant des bases des $E_{{\lambda }_i}(A)$, et la colonne de $D_A$ associée à un vecteur de $E_{{\lambda }_i}$ porte ${\lambda }_i$. Quitte à ordonner cette base — ce qui revient à permuter les colonnes de $P$ — on peut supposer les ${\lambda }_i$ groupés dans l'ordre croissant des indices.

La forme diagonale de $B$. Le même raisonnement donne $B=Q{D}_B{Q}^{-1}$, avec $D_B$ diagonale portant chaque ${\lambda }_i$ répété $\dim E_{{\lambda }_i}(B)$ fois, groupés dans le même ordre.

Les deux diagonales coïncident. Par hypothèse les spectres sont égaux et $\dim E_{{\lambda }_i}(A)=\dim E_{{\lambda }_i}(B)$ pour chaque $i$ : les deux matrices diagonales portent donc les mêmes coefficients, aux mêmes places. Ainsi $D_A=D_B$, notée $D$.

Le recollement. De $A=PD{P}^{-1}$ et $B=QD{Q}^{-1}$ on tire $D=Q^{-1}BQ$, puis $$A=P\left(Q^{-1}BQ\right)P^{-1}=\left(P{Q}^{-1}\right)B(P{Q}^{-1}{)}^{-1},$$ car $(P{Q}^{-1}{)}^{-1}=Q{P}^{-1}$. La matrice $R=P{Q}^{-1}$ est inversible comme produit de matrices inversibles, et $A=RB{R}^{-1}$ : $A$ et $B$ sont semblables.

Le point délicat. L'hypothèse « diagonalisables » est indispensable : $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ et $I_2$ ont le même spectre $\{1\}$ sans être semblables — mais la première n'est pas diagonalisable, et les dimensions des sous-espaces propres diffèrent.