Une matrice dont on connaît la somme des lignes

La valeur propre $2$. Chaque ligne de $A$ a pour somme $0+1+1=2$. Donc, avec $X_1={}^t(1,1,1)$, chaque coordonnée de $A{X}_1$ vaut cette somme : $$A{X}_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)=2X_1,$$ et $X_1\ne 0$ : $2\in \mathrm{Sp}(A)$, avec $\dim E_2(A)⩾1$.

Le rang de $A+I_3$. $$A+I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right).$$ Toutes ses lignes sont égales et non nulles : son rang vaut $1$. Donc $-1$ est valeur propre et $$\dim E_{-1}(A)=3-\mathrm{rg}(A+I_3)=3-1=2.$$ Le sous-espace $E_{-1}(A)$ est le plan d'équation $x+y+z=0$.

La diagonalisabilité. La somme des dimensions vaut au moins $1+2=3=\dim {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$, et elle est au plus $3$ : elle vaut $3$. Donc $A$ est diagonalisable, avec $\dim E_2(A)=1$.

Les matrices $P$ et $D$. Une base de $E_{-1}(A)$ : ${}^t(1,-1,0)$ et ${}^t(1,0,-1)$, deux solutions non colinéaires de $x+y+z=0$. En rangeant les colonnes dans l'ordre choisi, $$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right).$$

Le contrôle. $AP$ a pour colonnes $A$ appliquée aux colonnes de $P$, soit ${}^t(2,2,2)$, ${}^t(-1,1,0)$ et ${}^t(-1,0,1)$ ; et $PD$ a pour colonnes $2$ fois la première colonne de $P$, puis $-1$ fois les deux autres — les mêmes. Contrôle par la trace : $\mathrm{Tr}(A)=0=2-1-1$.