mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 3 · Exercice d'entraînement

Quand les puissances tendent vers zéro

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées · Ce que la diagonalisation apprend · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ diagonalisable, dont toutes les valeurs propres appartiennent à $\left]-1,1\right[$. Montrer que chaque coefficient de $A^k$ tend vers $0$ quand $k$ tend vers $+\infty$.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.