Quand les puissances tendent vers zéro

Ce qu'on montre. Une limite coefficient par coefficient, en la ramenant à des suites géométriques.

La forme diagonale. Il existe $P$ inversible et $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ telles que $A=PD{P}^{-1}$, avec $|{\lambda }_i|<1$ pour tout $i$. Le théorème du cours sur les puissances donne $$A^k=P{D}^k{P}^{-1},D^k=\mathrm{diag}({\lambda }_1^k,\dots ,{\lambda }_n^k).$$

La limite de $D^k$. Pour chaque $i$, la suite $({\lambda }_i^k{)}_k$ est géométrique de raison ${\lambda }_i$ avec $|{\lambda }_i|<1$ : elle tend vers $0$. Tous les coefficients de $D^k$ — les ${\lambda }_i^k$ sur la diagonale, des zéros ailleurs — tendent donc vers $0$.

Le passage à $A^k$. Notons $p_{i,j}$ et $q_{i,j}$ les coefficients de $P$ et de $P^{-1}$, qui ne dépendent pas de $k$. Le coefficient d'indice $(i,j)$ du produit $P{D}^k{P}^{-1}$ vaut $$(A^k{)}_{i,j}=\sum _{r=1}^n\sum _{s=1}^n{p}_{i,r}(D^k{)}_{r,s}{q}_{s,j}=\sum _{r=1}^n{p}_{i,r}{\lambda }_r^k{q}_{r,j},$$ la double somme se réduisant parce que $D^k$ est diagonale. C'est une somme finie, à $n$ termes, de suites du type constante $\times {\lambda }_r^k$.

Conclusion. Chacune de ces $n$ suites tend vers $0$, et une somme finie de suites de limite nulle tend vers $0$. Donc $(A^k{)}_{i,j}\to 0$ pour tous $i,j$.

Le point délicat. Le nombre de termes est fixe, égal à $n$ : c'est ce qui autorise à sommer les limites. Et l'hypothèse de diagonalisabilité est essentielle — sans elle, on ne saurait pas ramener $A^k$ à des puissances de réels.