Puissances et suite

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 3 — Réduction des endomorphismes et des matrices carrées · Puissances d'une matrice diagonalisable

Énoncé

Soit $A = (0211)$ et $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 1$ et $u_{n + 2} = u_{n + 1} + 2 u_{n}$ . Vérifier que $(u_{n + 1} u_{n + 2}) = A (u_{n} u_{n + 1})$ , diagonaliser $A$ , et donner $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Corrigé

La relation matricielle. $A (u_{n} u_{n + 1}) = (u_{n + 1} 2 u_{n} + u_{n + 1}) = (u_{n + 1} u_{n + 2})$ . C'est bien la récurrence.

Diagonalisation. $A (12) = (24) = 2 (12)$ et $A (1 - 1) = (- 1 1) = - (1 - 1)$ : valeurs propres $2$ et $- 1$ .

Décomposition de la condition initiale. $(11) = α (12) + β (1 - 1)$ donne $α + β = 1$ et $2 α - β = 1$ , d'où $α = \frac{2}{3}$ et $β = \frac{1}{3}$ .

Formule. $(u_{n} u_{n + 1}) = \frac{2}{3} 2^{n} (12) + \frac{1}{3} (- 1)^{n} (1 - 1)$ , dont la première coordonnée donne

$u_{n} = \frac{2 ^{n + 1} + ( - 1 ) ^{n}}{3} .$

Contrôle. $u_{0} = (2 + 1) /3 = 1$ , $u_{1} = (4 - 1) /3 = 1$ , $u_{2} = (8 + 1) /3 = 3$ — et la récurrence donne $u_{2} = u_{1} + 2 u_{0} = 1 + 2 = 3$ .

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