Diagonaliser une matrice de rang un

Le rang. La deuxième ligne est le double de la première, et $A\ne 0$ : les lignes engendrent une droite, donc $\mathrm{rg}(A)=1$. On peut aussi écrire, pour $X={}^t(x,y)$, $$AX=(x+2y)\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right).$$

La dimension de $E_0$. Le théorème du rang donne $\dim E_0(A)=\dim \ker A=2-1=1$, et $E_0(A)=\{X\mid x+2y=0\}=\mathrm{Vect}({}^t(2,-1))$. En particulier $0\in \mathrm{Sp}(A)$.

La seconde valeur propre. Appliquons la formule encadrée à $X_1={}^t(1,2)$ : le facteur vaut $1+4=5$, donc $$A{X}_1=5X_1,$$ et $5$ est valeur propre, de vecteur propre $X_1$. Ainsi $\{0,5\}\subset \mathrm{Sp}(A)$, et comme une matrice de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ a au plus deux valeurs propres, $\mathrm{Sp}(A)=\{0,5\}$.

La diagonalisation. Deux valeurs propres distinctes en dimension $2$ : $A$ est diagonalisable. En rangeant les vecteurs propres en colonnes, dans l'ordre des valeurs propres : $$P=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$$

Le contrôle $AP=PD$. $$AP=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 10& 0\end{array}\right),PD=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 10& 0\end{array}\right).$$ Les deux coïncident : la diagonalisation est vérifiée, et sans avoir eu à calculer $P^{-1}$.