Trois valeurs propres lues sur la diagonale

La diagonalisabilité. $A$ est triangulaire inférieure, donc $\mathrm{Sp}(A)=\{1,3,-1\}$ : trois valeurs propres deux à deux distinctes dans un espace de dimension $3$. Le critère le plus commode du cours s'applique : $A$ est diagonalisable, et chaque sous-espace propre est de dimension $1$.

Le vecteur propre pour $1$. On résout $(A-I_3)X=0$, c'est-à-dire $$2x+2y=0,4x+5y-2z=0$$ (la première ligne de $A-I_3$ étant nulle). La première donne $y=-x$, reportée dans la seconde : $4x-5x-2z=0$, soit $z=-x/2$. Avec $x=2$ : $X_1={}^t(2,-2,-1)$.

Le vecteur propre pour $3$. $(A-3I_3)X=0$ s'écrit $-2x=0$, $2x=0$ et $4x+5y-4z=0$. D'où $x=0$ puis $5y=4z$. Avec $y=4$, $z=5$ : $X_2={}^t(0,4,5)$.

Le vecteur propre pour $-1$. $(A+I_3)X=0$ s'écrit $2x=0$, $2x+4y=0$ et $4x+5y=0$. D'où $x=0$, puis $y=0$, $z$ libre : $X_3={}^t(0,0,1)$.

Les matrices. $$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ -2& 4& 0\\ -1& 5& 1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right).$$

Le contrôle $AP=PD$. Les colonnes de $AP$ sont $A{X}_1={}^t(2,-2,-1)$, $A{X}_2={}^t(0,12,15)$ et $A{X}_3={}^t(0,0,-1)$ ; celles de $PD$ sont $1\cdot X_1$, $3X_2={}^t(0,12,15)$ et $-X_3={}^t(0,0,-1)$. Les deux matrices coïncident.