Une matrice dont toutes les cases valent un

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 3 — Réduction des endomorphismes et des matrices carrées · Diagonaliser en pratique

Énoncé

Soit $J = 111111111$ . Vérifier que $J^{2} = 3 J$ , en déduire $Sp (J)$ , puis diagonaliser $J$ en contrôlant le résultat par $J P = P D$ .

Corrigé

La relation. Le coefficient d'indice $(i, j)$ de $J^{2}$ vaut $\sum_{k = 1}^{3} 1 \times 1 = 3$ . Toutes les cases de $J^{2}$ valent $3$ , donc $J^{2} = 3 J$ .

Les candidats. $Q = x^{2} - 3 x = x (x - 3)$ est annulateur de $J$ , donc $Sp (J) \subset {0, 3}$ .

Le sous-espace propre associé à $0$ . $J X = 0$ donne trois fois la même équation $x + y + z = 0$ . C'est un plan, de dimension $2$ , dont une base est $((1, - 1, 0), (1, 0, - 1))$ . Donc $0 \in Sp (J)$ et $dim E_{0} (J) = 2$ .

Le sous-espace propre associé à $3$ . La colonne $U$ dont les trois coefficients valent $1$ vérifie $J U = 3 U$ , donc $3 \in Sp (J)$ et $dim E_{3} (J) ⩾ 1$ .

Le compte. $dim E_{0} (J) + dim E_{3} (J) ⩾ 2 + 1 = 3$ , et cette somme ne peut pas dépasser $3$ . Elle vaut donc exactement $3$ : $J$ est diagonalisable, et $dim E_{3} (J) = 1$ .

La diagonalisation. On empile les vecteurs propres en colonnes, dans l'ordre des valeurs propres : $P = 1 - 1 0 10 - 1 111, D = 000000003 .$ Contrôle. Les colonnes de $J P$ sont $(0, 0, 0)$ , $(0, 0, 0)$ et $(3, 3, 3)$ ; celles de $P D$ sont $0$ , $0$ et $3$ fois les colonnes de $P$ , soit les mêmes. Donc $J P = P D$ .

Le point à retenir. On n'a résolu qu'un seul système : la relation $J^{2} = 3 J$ a fourni les candidats, le rang a fourni une dimension, et le compte a fourni l'autre.

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