Une matrice triangulaire à diagonaliser

Le spectre. $A$ est triangulaire supérieure, donc $\mathrm{Sp}(A)=\{1,3\}$. Deux valeurs propres distinctes en dimension $2$ : $A$ est diagonalisable.

Le vecteur propre pour $1$. On résout $(A-I_2)X=0$ avec $$A-I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 2\end{array}\right).$$ Les deux lignes donnent $2y=0$, soit $y=0$, et $x$ reste libre. Un vecteur propre : $X_1={}^t(1,0)$.

Le vecteur propre pour $3$. Avec $$A-3I_2=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 0& 0\end{array}\right),$$ le système se réduit à $-2x+2y=0$, soit $y=x$. Un vecteur propre : $X_2={}^t(1,1)$.

Les matrices. $$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right).$$ L'ordre est essentiel : la $j$-ème colonne de $P$ est le vecteur propre associé au $j$-ème coefficient de $D$.

Le contrôle $AP=PD$. $$AP=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 3\end{array}\right),PD=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 3\end{array}\right).$$ Les deux produits coïncident : la diagonalisation est correcte, et l'on n'a pas eu besoin de $P^{-1}$.