L'échange des deux coordonnées

Le premier vecteur. $$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot 1+1\cdot 1\\ 1\cdot 1+0\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=1\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right).$$ Ce vecteur, non nul, est propre pour la valeur propre $1$.

Le second vecteur. $$A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)=-1\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$ Il est propre pour la valeur propre $-1$.

Le spectre et la diagonalisabilité. On a donc $\{1,-1\}\subset \mathrm{Sp}(A)$, et une matrice de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ a au plus deux valeurs propres : $\mathrm{Sp}(A)=\{1,-1\}$. Deux valeurs distinctes en dimension $2$ : $A$ est diagonalisable, avec $$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$

Le contrôle. $$AP=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right),PD=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right).$$

Une lecture. $A$ échange les deux coordonnées. Elle laisse fixes les vecteurs dont les deux coordonnées sont égales (valeur propre $1$) et retourne ceux dont elles sont opposées (valeur propre $-1$) : c'est une symétrie, ce que confirme $A^2=I_2$.