Une famille de matrices

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 3 — Réduction des endomorphismes et des matrices carrées · Critère de diagonalisabilité

Énoncé

Pour $a \in R$ , soit $A_{a} = (10 a 1)$ . Pour quelles valeurs de $a$ la matrice $A_{a}$ est-elle diagonalisable ?

Corrigé

Spectre. $A_{a}$ est triangulaire de diagonale $(1, 1)$ : $Sp (A_{a}) = {1}$ pour tout $a$ .

Sous-espace propre. $A_{a} - I_{2} = (00 a 0)$ .

Si $a \neq = 0$ , cette matrice est de rang $1$ , donc $dim E_{1} (A_{a}) = 2 - 1 = 1 < 2$ : non diagonalisable.
Si $a = 0$ , elle est nulle, de rang $0$ , donc $dim E_{1} = 2$ : la somme vaut $2$ , et $A_{0} = I_{2}$ est diagonalisable — elle est même déjà diagonale.

Conclusion. $A_{a}$ est diagonalisable si et seulement si $a = 0$ .

Ce qu'il faut voir. Le spectre ne dépend pas de $a$ , et pourtant la diagonalisabilité, si. Le spectre seul ne décide jamais : ce sont les dimensions des sous-espaces propres qui tranchent.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.