Les matrices de rang un, en général

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 3 — Réduction des endomorphismes et des matrices carrées · Décider si une matrice est diagonalisable

Énoncé

Soient $C, L \in M_{n, 1} (R)$ deux colonnes non nulles, et $A = C^{t} L$ . Montrer que $A^{2} = α A$ avec $α =^{t} L C$ , en déduire $Sp (A) \subset {0, α}$ , puis que $A$ est diagonalisable si et seulement si $α \neq = 0$ .

Corrigé

Une relation de degré deux. Le produit $^{t} L C$ est une matrice $1 \times 1$ , que l'on identifie au réel $α$ . Par associativité, $A^{2} = (C^{t} L) (C^{t} L) = C (^{t} L C)^{t} L = α C^{t} L = α A .$ Donc $Q = x^{2} - α x = x (x - α)$ est un polynôme annulateur de $A$ , et $Sp (A) \subset {0, α}$ .

Le rang. Pour toute colonne $X$ , $A X = C (^{t} L X)$ est un multiple de $C$ , donc $Im (A) \subset Vect (C)$ . Comme $L \neq = 0$ , il existe $X$ avec $^{t} L X \neq = 0$ , donc $Im (A) = Vect (C)$ et $rg (A) = 1$ . Le théorème du rang donne alors $dim E_{0} (A) = n - 1.$

Si $α \neq = 0$ . Alors $A C = C (^{t} L C) = α C$ avec $C \neq = 0$ : $α$ est valeur propre, donc $dim E_{α} (A) ⩾ 1$ . La somme des dimensions vaut au moins $(n - 1) + 1 = n$ , et le cours affirme qu'elle est au plus $n$ : elle vaut exactement $n$ , donc $A$ est diagonalisable, semblable à $diag (α, 0, \dots, 0)$ .

Si $α = 0$ . Alors $A^{2} = 0$ . Le seul candidat restant est $0$ , donc $Sp (A) = {0}$ et $dim E_{0} (A) = n - 1 < n$ : le critère par les dimensions n'est pas rempli, $A$ n'est pas diagonalisable.

Le point délicat. On peut redire cette dernière conclusion autrement : si $A$ était diagonalisable de spectre ${0}$ , elle serait semblable à la matrice nulle, donc $A = P 0 P^{- 1} = 0$ — ce qui contredit $rg (A) = 1$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.