mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 3 · Exercice d'entraînement

Les matrices de rang un, en général

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées · Décider si une matrice est diagonalisable · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $C,L\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ deux colonnes non nulles, et $A=C{}^{t}L$. Montrer que $A^2=\alpha A$ avec $\alpha ={}^{t}LC$, en déduire $\mathrm{Sp}(A)\subset \{0,\alpha \}$, puis que $A$ est diagonalisable si et seulement si $\alpha \ne 0$.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.