Une matrice qui n'est pas diagonalisable

Le spectre. $A$ est triangulaire supérieure : son spectre est l'ensemble de ses coefficients diagonaux, ici tous deux égaux à $2$. Donc $$\mathrm{Sp}(A)=\{2\}.$$

La dimension du sous-espace propre. On calcule $$A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),$$ matrice non nulle dont la deuxième ligne est nulle : son rang vaut $1$. Le théorème du rang donne $$\dim E_2(A)=2-\mathrm{rg}(A-2I_2)=2-1=1.$$ On peut aussi résoudre : $(A-2I_2)X=0$ s'écrit $y=0$, donc $E_2(A)=\mathrm{Vect}({}^t(1,0))$.

La conclusion. Le critère du cours demande que la somme des dimensions des sous-espaces propres vaille $n=2$. Ici il n'y a qu'un seul sous-espace propre, de dimension $1$ : $$\sum _{\lambda \in \mathrm{Sp}(A)}\dim E_{\lambda }(A)=1<2.$$ Donc $A$ n'est pas diagonalisable.

Une autre façon de le dire. Si $A$ était diagonalisable, elle serait semblable à une matrice diagonale dont les coefficients sont les valeurs propres, c'est-à-dire à $2I_2$. Or $P^{-1}(2I_2)P=2I_2$ pour toute $P$ inversible : la seule matrice semblable à $2I_2$ est $2I_2$ elle-même. Et $A\ne 2I_2$.