Une puissance explicite

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 3 — Réduction des endomorphismes et des matrices carrées · Puissances d'une matrice diagonalisable

Énoncé

Soit $A = (5 - 3 - 3 5)$ . Vérifier que $(1, 1)$ et $(1, - 1)$ sont des vecteurs propres de $A$ , puis donner $A^{n}$ pour tout $n \in N$ .

Corrigé

Les deux vecteurs propres. $A (11) = (5 - 3 - 3 + 5) = (22) = 2 (11), A (1 - 1) = (5 + 3 - 3 - 5) = 8 (1 - 1) .$ Deux valeurs propres distinctes, $2$ et $8$ , en dimension $2$ : $A$ est diagonalisable.

La diagonalisation. Avec $P = (11 1 - 1)$ et $D = (2008)$ , on a $A = P D P^{- 1}$ . Ici $P^{2} = 2 I_{2}$ , donc $P^{- 1} = \frac{1}{2} P$ .

La puissance. $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ avec $D^{n} = (2^{n} 0 0 8^{n})$ . On calcule $P D^{n} = (2^{n} 2^{n} 8^{n} - 8^{n})$ , puis $A^{n} = \frac{1}{2} (2^{n} 2^{n} 8^{n} - 8^{n}) (11 1 - 1) = \frac{1}{2} (2^{n} + 8^{n} 2^{n} - 8^{n} 2^{n} - 8^{n} 2^{n} + 8^{n}) .$

Deux contrôles. En $n = 0$ la formule rend $\frac{1}{2} (2002) = I_{2}$ , en $n = 1$ elle rend $\frac{1}{2} (10 - 6 - 6 10) = A$ .

Le point à retenir. Une fois $P$ et $D$ trouvés, la puissance ne coûte plus rien : tout le travail est dans les deux produits, et l'on vérifie toujours la formule en $n = 0$ et $n = 1$ , où l'on connaît la réponse.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.