Une puissance explicite

Les deux vecteurs propres. $$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5-3\\ -3+5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5+3\\ -3-5\end{array}\right)=8\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$ Deux valeurs propres distinctes, $2$ et $8$, en dimension $2$ : $A$ est diagonalisable.

La diagonalisation. Avec $P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$ et $D=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 8\end{array}\right)$, on a $A=PD{P}^{-1}$. Ici $P^2=2I_2$, donc $P^{-1}=\frac{1}{2}P$.

La puissance. $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$ avec $D^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 0& 8^n\end{array}\right)$. On calcule $P{D}^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 8^n\\ 2^n& -8^n\end{array}\right)$, puis $$A^n=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 8^n\\ 2^n& -8^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{2}^n+8^n& 2^n-8^n\\ 2^n-8^n& 2^n+8^n\end{array}\right).$$

Deux contrôles. En $n=0$ la formule rend $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=I_2$, en $n=1$ elle rend $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}10& -6\\ -6& 10\end{array}\right)=A$.

Le point à retenir. Une fois $P$ et $D$ trouvés, la puissance ne coûte plus rien : tout le travail est dans les deux produits, et l'on vérifie toujours la formule en $n=0$ et $n=1$, où l'on connaît la réponse.