Deux endomorphismes qui commutent

Soit $x\in E_{\lambda }(f)$, c'est-à-dire $f(x)=\lambda x$. Calculons $f$ de $g(x)$ :

$$f(g(x))=(f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\lambda x)=\lambda g(x),$$

en utilisant successivement la commutation et la linéarité de $g$.

Donc $g(x)$ vérifie $f(g(x))=\lambda g(x)$ : il appartient à $E_{\lambda }(f)$. Comme $x$ était quelconque dans $E_{\lambda }(f)$, on a bien $g(E_{\lambda }(f))\subset E_{\lambda }(f)$.

Pourquoi c'est utile. Si de plus $f$ est diagonalisable, $E$ est la somme directe de ses sous-espaces propres, et $g$ agit dans chacun d'eux séparément. C'est le point de départ de la diagonalisation simultanée de deux endomorphismes — hors programme, mais l'énoncé de cet exercice, lui, est un classique.