Une somme de dimensions

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 3 — Réduction des endomorphismes et des matrices carrées · Critère de diagonalisabilité

Énoncé

Soit $f$ un endomorphisme de $R^{4}$ tel que $Sp (f) = {2, 5}$ , avec $rg (f - 2 Id) = 2$ et $rg (f - 5 Id) = 3$ . $f$ est-il diagonalisable ?

Corrigé

Par le théorème du rang,

$dim E_{2} (f) = 4 - rg (f - 2 Id) = 4 - 2 = 2, dim E_{5} (f) = 4 - 3 = 1.$

La somme vaut $2 + 1 = 3 < 4 = dim (R^{4})$ .

Donc $f$ n'est pas diagonalisable : les sous-espaces propres ne remplissent pas l'espace, il manque une dimension.

La méthode. On n'a pas eu besoin de la matrice de $f$ , ni d'un seul vecteur propre : deux rangs et une addition suffisent à décider.

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