Un endomorphisme de polynômes qui se retourne

Un endomorphisme. La substitution $x\mapsto 1-x$ est affine, donc elle ne change pas le degré : $\sigma$ envoie bien ${\mathbb{R}}_2[x]$ dans lui-même, et elle est linéaire puisque $(\lambda P+\mu R)(1-x)=\lambda P(1-x)+\mu R(1-x)$.

Une symétrie. Pour tout $P$, $\sigma (\sigma (P))(x)=\sigma (P)(1-x)=P(1-(1-x))=P(x)$. Donc ${\sigma }^2={\mathrm{Id}}_E$, et $Q=x^2-1=(x-1)(x+1)$ est annulateur : $\mathrm{Sp}(\sigma )\subset \{1,-1\}$.

Le sous-espace $E_1$. $\sigma (1)=1$ et, en posant $R=x^2-x$, $\sigma (R)(x)=(1-x{)}^2-(1-x)=1-2x+x^2-1+x=x^2-x=R(x)$. Les polynômes $1$ et $R$ sont non colinéaires, donc $\mathrm{Vect}(1,R)\subset E_1(\sigma )$ et $\dim E_1(\sigma )⩾2$.

Le sous-espace $E_{-1}$. Avec $S=2x-1$ : $\sigma (S)(x)=2(1-x)-1=1-2x=-S(x)$. Donc $S\in E_{-1}(\sigma )$, non nul, et $\dim E_{-1}(\sigma )⩾1$.

La conclusion. La somme des dimensions vaut au moins $2+1=3=\dim E$, et le cours la borne par $3$ : elle vaut exactement $3$, donc $\sigma$ est diagonalisable, avec $\dim E_1=2$ et $\dim E_{-1}=1$. Une base de vecteurs propres est $${\mathcal{B}}^{\prime }=(1,x^2-x,2x-1),{\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}(\sigma )=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right).$$

Une lecture. Les vecteurs propres pour $1$ sont les polynômes symétriques par rapport à la droite $x=\frac{1}{2}$, ceux pour $-1$ les polynômes antisymétriques : la diagonalisation ne fait que séparer ces deux comportements.