mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 3 · Exercice d'entraînement

Un endomorphisme de polynômes qui se retourne

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées · Trouver $P$ et $D$ · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Sur $E={\mathbb{R}}_2[x]$, on pose $\sigma (P)(x)=P(1-x)$. Vérifier que $\sigma$ est un endomorphisme de $E$ et que $\sigma \circ \sigma ={\mathrm{Id}}_E$. En déduire $\mathrm{Sp}(\sigma )$, déterminer les sous-espaces propres, et conclure que $\sigma$ est diagonalisable.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.