Diagonaliser une matrice symétrique

Éléments propres. On essaie les directions naturelles :

$$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)=4\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$

Deux valeurs propres distinctes en dimension $2$ : $A$ est diagonalisable.

Les matrices.

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 2\end{array}\right).$$

Vérification. $AP=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& -2\end{array}\right)$, et $PD=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& -2\end{array}\right)$. Les deux coïncident.

Contrôle par la trace. $\mathrm{Tr}(A)=6=4+2$.