Trace, rang et diagonalisation

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 3 — Réduction des endomorphismes et des matrices carrées · Critère de diagonalisabilité

Énoncé

Soit $A \in M_{3} (R)$ diagonalisable, de rang $2$ et de trace $7$ , admettant $4$ pour valeur propre. Déterminer toutes ses valeurs propres et leurs multiplicités.

Corrigé

Le rang donne le noyau. $rg (A) = 2$ , donc $dim ker (A) = 3 - 2 = 1$ : $0$ est valeur propre, avec $dim E_{0} (A) = 1$ .

Les dimensions doivent remplir l'espace. $A$ étant diagonalisable, la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $3$ . Il reste donc $2$ à répartir entre les valeurs propres non nulles.

La trace tranche. Elle vaut la somme des valeurs propres comptées avec leur multiplicité, soit $7$ . Si $4$ était de multiplicité $2$ , la somme ferait $0 + 4 + 4 = 8 \neq = 7$ . Donc $dim E_{4} (A) = 1$ , et il reste une troisième valeur propre $μ$ de multiplicité $1$ , avec

$0 + 4 + μ = 7 ⟹ μ = 3.$

Conclusion. $Sp (A) = {0, 3, 4}$ , chaque sous-espace propre étant de dimension $1$ — trois valeurs distinctes en dimension $3$ , ce qui confirme d'ailleurs la diagonalisabilité annoncée.

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