Trace, rang et diagonalisation

Le rang donne le noyau. $\mathrm{rg}(A)=2$, donc $\dim \ker (A)=3-2=1$ : $0$ est valeur propre, avec $\dim E_0(A)=1$.

Les dimensions doivent remplir l'espace. $A$ étant diagonalisable, la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $3$. Il reste donc $2$ à répartir entre les valeurs propres non nulles.

La trace tranche. Elle vaut la somme des valeurs propres comptées avec leur multiplicité, soit $7$. Si $4$ était de multiplicité $2$, la somme ferait $0+4+4=8\ne 7$. Donc $\dim E_4(A)=1$, et il reste une troisième valeur propre $\mu$ de multiplicité $1$, avec

$$0+4+\mu =7⟹\mu =3.$$

Conclusion. $\mathrm{Sp}(A)=\{0,3,4\}$, chaque sous-espace propre étant de dimension $1$ — trois valeurs distinctes en dimension $3$, ce qui confirme d'ailleurs la diagonalisabilité annoncée.