La puissance d'une matrice donnée sous forme diagonalisée

L'inverse de $P$. On calcule $$P^2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+1& 1-1\\ 1-1& 1+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2I_2.$$ Donc $P\cdot \frac{1}{2}P=I_2$, c'est-à-dire $P^{-1}=\frac{1}{2}P$.

La matrice $A$. D'abord $$PD=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 3& -1\end{array}\right),$$ puis $$A=(PD)P^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 3& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right).$$

La puissance. Le théorème du cours donne $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$ avec $D^n=\mathrm{diag}(3^n,1)$ : $$A^n=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{3}^n& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{3}^n& 1\\ 3^n& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{3}^n+1& 3^n-1\\ 3^n-1& 3^n+1\end{array}\right).$$

Deux contrôles. Pour $n=0$ : $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=I_2$. Pour $n=1$ : $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 4\end{array}\right)=A$.