Deux valeurs propres, trois dimensions à compter

Le spectre. $A$ est triangulaire inférieure, donc son spectre est l'ensemble de ses coefficients diagonaux : $\mathrm{Sp}(A)=\{1,2\}$.

La dimension de $E_1$. On applique $\dim E_{\lambda }(A)=3-\mathrm{rg}(A-\lambda I_3)$. Ici $$A-I_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ 3& 4& 1\end{array}\right).$$ Ses colonnes sont ${}^t(0,2,3)$, ${}^t(0,0,4)$ et ${}^t(0,0,1)$. Les deux premières ne sont pas colinéaires, donc le rang vaut au moins $2$ ; la première ligne étant nulle, il vaut au plus $2$. Donc $\mathrm{rg}(A-I_3)=2$ et $$\dim E_1(A)=3-2=1.$$

La dimension de $E_2$. $$A-2I_3=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ 3& 4& 0\end{array}\right).$$ La dernière colonne est nulle ; les deux premières, ${}^t(-1,2,3)$ et ${}^t(0,-1,4)$, ne sont pas colinéaires. Le rang vaut $2$, donc $$\dim E_2(A)=3-2=1.$$

La conclusion. Le critère opératoire du cours dit : $A$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $n$. Ici $$\dim E_1(A)+\dim E_2(A)=1+1=2<3.$$ Donc $A$ n'est pas diagonalisable.

Le point délicat. Aucune base n'a été exhibée, et il n'en fallait pas : on décide sur des rangs. Noter aussi que $2$ apparaît une seule fois sur la diagonale et $1$ deux fois — mais c'est la valeur $1$ qui manque de directions propres, pas celle qu'on aurait pu croire.