Une racine carrée d'une matrice diagonalisable

La construction. $A$ étant diagonalisable, il existe $P$ inversible et $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ avec $A=PD{P}^{-1}$. Par hypothèse chaque ${\lambda }_i$ est positif ou nul, donc $\sqrt{{\lambda }_i}$ existe. Posons $$\Delta =\mathrm{diag}(\sqrt{{\lambda }_1},\dots ,\sqrt{{\lambda }_n}),B=P\Delta P^{-1}.$$

Elle convient. Les deux $P^{-1}P$ intermédiaires disparaissent : $$B^2=P\Delta P^{-1}P\Delta P^{-1}=P{\Delta }^2{P}^{-1}=PD{P}^{-1}=A,$$ car ${\Delta }^2=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)=D$. Et $B$ est semblable à la matrice diagonale $\Delta$ : elle est diagonalisable par construction.

L'exemple. $(1,1)$ et $(1,-1)$ sont propres pour $2$ et $8$, donc avec $P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$, $P^{-1}=\frac{1}{2}P$ et $\Delta =\mathrm{diag}(\sqrt{2},2\sqrt{2})$ : $$B=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{2}& 2\sqrt{2}\\ \sqrt{2}& -2\sqrt{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 3\end{array}\right),$$ et l'on contrôle $B^2=\frac{2}{4}\left(\begin{array}{cc}10& -6\\ -6& 10\end{array}\right)=A$.

Le point à retenir. Diagonaliser ramène une question sur les matrices à la même question sur $n$ nombres : extraire une racine carrée de matrice, ici, c'est extraire $n$ racines carrées de réels. La matrice $B$ n'est d'ailleurs pas la seule — changer un $\sqrt{{\lambda }_i}$ en $-\sqrt{{\lambda }_i}$ en donne une autre.