Un projecteur est diagonalisable

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 3 — Réduction des endomorphismes et des matrices carrées · Endomorphismes remarquables

Énoncé

Soit $p$ un endomorphisme de $E$ (de dimension $n$ ) tel que $p \circ p = p$ . Montrer que $E = ker (p) \oplus Im (p)$ et en déduire que $p$ est diagonalisable.

Corrigé

La décomposition. Pour tout $x \in E$ , écrivons

$x = \in k e r (p) (x - p (x)) + \in Im (p) p (x) .$

Le premier terme est bien dans le noyau : $p (x - p (x)) = p (x) - p (p (x)) = p (x) - p (x) = 0_{E}$ . Donc $E = ker (p) + Im (p)$ .

La somme est directe. Si $y \in ker (p) \cap Im (p)$ , alors $y = p (z)$ pour un certain $z$ , et $p (y) = 0_{E}$ . Or $p (y) = p (p (z)) = p (z) = y$ . Donc $y = 0_{E}$ .

Diagonalisable. On a vu au chapitre 2 que $ker (p) = E_{0} (p)$ et $Im (p) = E_{1} (p)$ . La décomposition ci-dessus s'écrit donc $E = E_{0} (p) \oplus E_{1} (p)$ : c'est exactement la caractérisation (2) du théorème. $p$ est diagonalisable, et sa matrice dans une base adaptée est diagonale, faite de $0$ et de $1$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.