Une symétrie est diagonalisable

La somme est directe. Si $x\in E_1(s)\cap E_{-1}(s)$, alors $s(x)=x$ et $s(x)=-x$, donc $x=-x$, puis $2x=0_E$ et $x=0_E$. L'intersection est réduite au vecteur nul : la somme est directe.

Elle vaut $E$. C'est le point à produire. Pour $x\in E$, posons $$u=\frac{x+s(x)}{2},v=\frac{x-s(x)}{2},\text{de sorte que}x=u+v.$$ En utilisant $s\circ s={\mathrm{Id}}_E$ : $$s(u)=\frac{s(x)+s(s(x))}{2}=\frac{s(x)+x}{2}=u,s(v)=\frac{s(x)-x}{2}=-v.$$ Donc $u\in E_1(s)$ et $v\in E_{-1}(s)$, et $E=E_1(s)+E_{-1}(s)$. Avec l'étape précédente, $E=E_1(s)\oplus E_{-1}(s)$.

La diagonalisabilité. Concaténons une base de $E_1(s)$ et une base de $E_{-1}(s)$ : la somme étant directe et valant $E$, on obtient une base de $E$, formée de vecteurs propres de $s$. Donc $s$ est diagonalisable, et sa matrice dans cette base est diagonale, avec des $1$ puis des $-1$.

Un cas limite à ne pas oublier. Si $s={\mathrm{Id}}_E$, alors $E_{-1}(s)=\{0_E\}$ et la décomposition reste vraie — simplement, l'un des deux morceaux est réduit à zéro, et $-1$ n'est pas valeur propre.

Le point à retenir. Une relation d'une ligne sur $s$ donne un polynôme annulateur scindé à racines simples, $x^2-1$, et suffit à conclure sans aucun calcul de matrice.