Le carré d'une matrice diagonalisable

Le sens direct. Par hypothèse, il existe $P$ inversible et $D$ diagonale telles que $A=PD{P}^{-1}$. Alors $$A^2=\left(PD{P}^{-1}\right)\left(PD{P}^{-1}\right)=PD\left(P^{-1}P\right)D{P}^{-1}=P{D}^2{P}^{-1}.$$ Or $D^2$ est encore diagonale : si $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$, alors $D^2=\mathrm{diag}({\lambda }_1^2,\dots ,{\lambda }_n^2)$. Donc $A^2$ est semblable à une matrice diagonale : $A^2$ est diagonalisable, et la même matrice $P$ convient.

La réciproque est fausse. Prenons $$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right).$$ Alors $A^2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, qui est diagonale, donc diagonalisable.

Mais $A$ ne l'est pas. $A$ est triangulaire de diagonale $(0,0)$, donc $\mathrm{Sp}(A)=\{0\}$. Si $A$ était diagonalisable, elle serait semblable à une matrice diagonale dont tous les coefficients sont des valeurs propres, c'est-à-dire à la matrice nulle : on aurait $A=P0P^{-1}=0$, ce qui est faux puisque le coefficient d'indice $(1,2)$ de $A$ vaut $1$.

Ce qui se passe. Élever au carré peut faire fusionner des valeurs propres et agrandir les sous-espaces propres — ici $E_0(A)$, de dimension $1$, devient $E_0(A^2)={\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$, de dimension $2$. L'information manquante à $A$ pour être diagonalisable est ainsi fabriquée de toutes pièces par le carré, et ne peut pas être remontée.