Exercices corrigés — Éléments propres et polynômes annulateurs (mathématiques approfondies (ECG 2e année))

35 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

Valeurs propres et sous-espaces propres

• Un spectre lu sur la diagonale
• Vérifier un vecteur propre
• Une matrice et son inverse
• Un endomorphisme de polynômes
• Une valeur propre lue sur les sommes de lignes

Polynômes annulateurs

• Spectre par polynôme annulateur
• Un projecteur
• Un polynôme annulateur donné
• Un endomorphisme sans valeur propre réelle
• Une matrice dont le cube est nul
• Un polynôme annulateur de degré trois Exercice d'entraînement
• Une racine qui n'est pas valeur propre Exercice d'entraînement
• $AB$ et $BA$ ont les mêmes valeurs propres non nulles Exercice d'entraînement
• L'opérateur de différence sur les polynômes Exercice d'entraînement

Polynômes en un endomorphisme

• Éléments propres transportés
• Spectre d'un polynôme en $f$

Propriétés générales du spectre

• Une famille libre de vecteurs propres
• Somme des dimensions
• Deux sous-espaces propres ne se rencontrent qu'en zéro

Spectre et sous-espaces propres

• Translater le spectre Exercice d'entraînement
• Une matrice dont le carré est $-2I_2$ Exercice d'entraînement
• Un endomorphisme des matrices carrées Exercice d'entraînement

Spectre, rang et inversibilité

• Une matrice de rang un et son spectre Exercice d'entraînement
• Des dimensions de sous-espaces propres calculées par le rang Exercice d'entraînement
• Une matrice et sa transposée ont le même spectre Exercice d'entraînement

Familles de vecteurs propres

• La somme de deux vecteurs propres distincts n'est pas propre Exercice d'entraînement
• Les vecteurs propres de $A$ et ceux de $A^2$ Exercice d'entraînement

Lire un spectre

• Le spectre d'une matrice triangulaire Exercice supplémentaire
• Vérifier qu'un vecteur est propre Exercice supplémentaire
• Le spectre d'une homothétie Exercice supplémentaire

Polynômes annulateurs, cas simples

• Une matrice égale à son carré Exercice supplémentaire
• Un endomorphisme dont le carré est l'identité Exercice supplémentaire
• Une matrice non nulle de carré nul Exercice supplémentaire

Définition et cas simples

• Pourquoi le vecteur nul n'est jamais propre Exercice supplémentaire
• Un spectre et deux sous-espaces propres Exercice supplémentaire

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